Trong bài viết này Hocvn sẽ hướng dẫn bạn Viết Phương Trình Đi Qua 2 Điểm Cực Trị Của Đồ Thị Hàm Số Bậc 3. Mời bạn đọc cùng theo dõi!

Cách Viết Phương Trình Đường Thẳng Đi Qua Hai Điểm Cực Trị Của Đồ Thị Hàm Số Bậc Ba

Cho hàm số bậc ba y=f(x)=ax3+bx2+cx+d với a≠0 có đồ thị gọi là đường cong (C) và

y′=f′(x)=3ax2+2bx+c

Nhận thấy y′ là một tam thức bậc hai có

Δ′y′=b2−3ac.

Do đó. có hai khả năng sau:

• Nếu Δ′≤0 thì hàm số không có cực trị.
• Nếu Δ′>0 thì hàm số có hai điểm cực trị. Khi đó, đồ thị hàm số cũng có hai điểm cực trị và phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm này là

y=kx+m,

trong đó kx+m là phần dư khi chia đa thức ax3+bx2+cx+d cho 3ax2+2bx+c (tức là phần dư khi chia y cho y′).

Thật vậy, giả sử phương trình f′(x)=0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2 thì ta có f′(x1)=f′(x2)=0 và toạ độ hai điểm cực trị của đồ thị hàm số có dạng A(x1;f(x1)), B(x2;f(x2)).

Thực hiện phép chia f(x) cho f′(x) và giả sử ta được thương q(x) và dư là r(x) (r(x) có dạng kx+m) tức là

f(x)=q(x)⋅f′(x)+r(x).

Suy ra,

f(x1)=q(x1)⋅f′(x1)+r(x1)=r(x1),

vì f′(x1)=0. Hay toạ điểm A là (x1,r(x1)). Tương tự tính được toạ độ điểm B là (x2,r(x2)).

Như vậy toạ độ hai điểm A,B  đều thỏa mãn phương trình y=r(x)=kx+m hay đường thẳng y=kx+m chính là đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc ba đã cho.

Ví Dụ Minh Họa Phương Trình Đi Qua 2 Điểm Cực Trị Của Đồ Thị Hàm Số Bậc 3

• Ví dụ 1

Tìm m để đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y = 2x3 + 3(m – 1)x2 + 6(m – 2)x – 1 song song với đường thẳng y = -4x + 1.

Lời giải

Ta có y’ = 6x2 + 6(m – 1)x + 6(m – 2)

Hàm số có cực trị ⇔ y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt

⇔ Δ’ > 0 ⇔ 9(m – 1)2 – 36(m – 2) > 0 ⇔ 9(m – 3)2 > 0 ⇔ m ≠ 3

Thực hiện phép chia y cho y’ ta có phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là:

d: y = (-m2 + 6m – 9)x – m2 + 3m – 3

Khi đó d song song với đường thẳng y = -4x + 1

• Ví dụ 2

Cho hàm số y=−x3+3mx2+3(1−m2)x+m3−m2. Viết phương trình đi qua hai điểm cực trị của hàm số đã cho.

Bài giải:

Ta có: y′=−3×2+6mx+3(1−m2).

Phương trình  y′=0 có Δ′=9>0, với mọi m ⇒ đồ thị hàm số đã cho luôn có hai điểm cực trị (x1;y1),(x2;y2).

Chia y cho y′ ta được: y=(13x−m3)y′+2x−m2+m.

Khi đó: y1=2×1−m2+m;  y2=2×2−m2+m.

Vậy phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số đã cho là: y=2x−m2+m.

Như vậy trên đây Hocvn đã hướng dẫn bạn Viết Phương Trình Đi Qua 2 Điểm Cực Trị Của Đồ Thị Hàm Số Bậc 3. Hi vọng bài viết hữu ích với bạn.