Hàm Số Nghịch Biến Trên R Khi Nào? Điều này sẽ được Hocvn giải đáp trong bài viết sau. Mời bạn đọc theo dõi!

Câu Hỏi: Hàm Số Nghịch Biến Trên R Khi Nào?

=> Nếu f'(x) <0 với mọi x thuộc (a;b) thì hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng (a; b)

Hàm Số Là Gì?

Giả sử X và Y là hai tập hợp tùy ý. Nếu có một quy tắc f cho tương ứng mỗi x thuộc X với một và chỉ một y thuộc Y thì ta nói rằng f là một hàm từ X vào Y.

Nếu X, Y là các tập hợp số thì f được gọi là một hàm số. Trong bài viết này, ta xét các hàm số thực của các biến số thực. X được gọi là tập xác định (hay miền xác định) của hàm số f. Tập xác định thường được kí hiệu là D.

Số thực x thuộc X được gọi là biến số độc lập (gọi tắt là biến số hay đối số). Số thực y = f(x) thuộc Y được gọi là giá trị của hàm số f tại điểm x. Tập hợp tất cả các giá trị của f(x) khi x lấy mọi số thực thuộc tâp hợp X gọi là tập giá trị (miền giá trị) của hàm số f. 

Ta cũng có thể định nghĩa hàm số như sau: Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng thay đổi x sao cho: Với mỗi giá trị của x ta luôn xác định được chỉ một giá trị tương ứng của y thì y được gọi là hàm số của x và x được gọi là biến số.

Định Lí Về Tính Đồng Biến Nghịch Biến

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b). Khi đó hàm số sẽ đồng biến và nghịch biến với:

• Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng (a;b) khi và chỉ khi f’(x) ≥ 0 với mọi giá trị x thuộc khoảng (a;b). Dấu bằng xảy ra tại hữu hạn điểm.
• Hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng (a;b) khi và chỉ khi f’(x) ≤ 0 với mọi giá trị x thuộc khoảng (a;b). Dấu bằng xảy ra tại hữu hạn điểm.

Một số trường hợp cụ thể chúng ta cần phải nhớ về điều kiện đơn điệu trên R:

Đối với hàm số đa thức bậc 1:

• Hàm số y = ax + b (a ≠ 0) đồng biến trên ℝ khi và chỉ khi a > 0
• Hàm số y = ax + b (a ≠ 0) nghịch biến trên ℝ khi và chỉ khi a < 0

Đối với hàm số đa thức bậc 3:

Đây là dạng bài toán thường gặp đối với hàm số đa thức bậc 3, hơn 90% các bài viết đều áp dụng cho hàm số bậc 3. Nên ta sẽ áp dụng như sau:

Xét hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d ⇒ y’ = 3ax2 + 2bx + c

• TH1: a = 0 (nếu có tham số)
• TH2: a ≠ 0

Điều Kiện Cần Và Đủ Để Hàm Số Có Đạo Hàm Đồng Biến, Nghịch Biến

Điều kiện cần: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a; b)

• Nếu f(x) đồng biến trên khoảng (a;b) thì f'(x) >= 0 với mọi x thuộc (a; b)
• Nếu f(x) nghịch biến trên khoảng (a;b) thì f'(x) <= 0 với mọi x thuộc (a; b)

Điều kiện đủ: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a; b) 

• Nếu f'(x) > 0 với mọi x thuộc (a;b) thì hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (a; b)
• Nếu f'(x) <0 với mọi x thuộc (a;b) thì hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng (a; b)
• Nếu f'(x) = 0 với mọi x thuộc (a;b) thì hàm số f(x) không đổi trên khoảng (a; b)

Điều kiện đủ (mở rộng): Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng K

• Nếu f'(x) >= 0 với mọi x thuộc K và f'(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm x thuộc K thì hàm số f đồng biến trên K
• Nếu f'(x) <= 0 với mọi x thuộc K và f'(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm x thuộc K thì hàm số f nghịch biến trên K

Các Dạng Bài Tập Ứng Dụng Hàm Số Đồng Biến Nghịch Biến Trên R Thường Gặp

Dưới đây là tổng hợp một số dạng bài tập liên quan tới điều kiện hàm số đồng biến trên r để các em áp dụng và thực hành:

Dạng 1: Tìm Khoảng Đồng Biến – Nghịch Biến Của Hàm Số

Cho hàm số y = f(x)

• f’(x) > 0 ở đâu thì hàm số đồng biến ở đấy.
• f’(x) < 0 ở đâu thì hàm số nghịch biến ở đấy.

Quy tắc:

• Tính f’(x), giải phương trình f’(x) = 0 tìm nghiệm.
• Lập bảng xét dấu f’(x)
• Dựa vào bảng xét dấu và kết luận.

Dạng 2: Tìm Điều Kiện Của Tham Số M

Kiến thức chung

• Để hàm số đồng biến trên khoảng (a;b) thì f’(x) ≥ 0, ∀ x ∊ (a;b).
• Để hàm số nghịch biến trên khoảng (a;b) thì f’(x) ≤ 0, ∀ x ∊ (a;b).

Chú ý: Cho hàm số y = ax^3 + bx^2 + cx + d

• Khi a > 0 để hàm số nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng k ⇔ y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 sao cho |x1 – x2| = k
• Khi a < 0 để hàm số đồng biến trên một đoạn có độ dài bằng k ⇔ y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2  sao cho |x1 – x2| = k

Dạng 3: Xét Tính Đơn Điệu Hàm Số Trùng Phương

• Bước 1: Tìm tập xác định
• Bước 2: Tính đạo hàm f’(x) = 0. Tìm các điểm xi (i= 1, 2,… n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
• Bước 3: Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.
• Bước 4: Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Trên đây là những thông tin giải đáp về câu hỏi Hàm Số Nghịch Biến Trên R Khi Nào? Hocvn hi vọng bài viết này hữu ích với bạn.